アナログ信号の波形とスペクトル
サンプリング定理は、時間を離散化した信号から 元のアナログ信号を再現できる条件を定めたものです。 アナログ信号の最大周波数がfmax[Hz]、 サンプリング間隔がT[秒]のとき、
T < 1/ ( 2 fmax )
であることが必要です。
これは、サンプリング周波数fsが
fs > 2 fmax
を満たす必要がある、と言い換えることもできます。
等号を含まないことに注意してください。
数式を使った証明は他の授業に譲って、 ここでは図だけで説明します。 入力信号は最大周波数がfmax[Hz]であると仮定します。 波形とスペクトルは、下図のようであったとしましょう。
これを、T[秒]間隔でサンプリングします。 n T[秒]の値のみを取り出します。 この時の波形は下図(a)のようになります。 証明は省略しますが、 この時のスペクトルは、 下図(b)のように、 元のスペクトルと それをn/T[Hz] (nは整数) ずらした無限個のコピーを加えたものになります。 もし2fmax<1/Tであれば、 元のスペクトルと隣にあるコピーは重なりません。
離散時間の信号から元のアナログ波形を復元するには、 元のスペクトルだけを残して、 そのコピーを全て除去すれば良いことがわかります。 そのためには、fmax以上の周波数成分を除去する LPFを通せば良いことになります。
サンプリング定理を満たさない場合には、 元のアナログ波形を再現できません。 このような信号をサンプリングした際のスペクトルは、 下図のようになります。 元のスペクトルと隣のコピーが重なっています。 重なった部分は再現できず、 元の波形とは異なる結果が得られます。 この現象をエイリアシング (aliasing) と呼びます。 どのような波形が得られるのかは、実験で確認しましょう。
